அடிப்படை விகிதசம தேற்றம்

🔄 சுருக்க நினைவூட்டல்

முந்தைய பிரிவில், நாம் ஒருமித்த வடிவங்கள் - ஒரே வடிவம் ஆனால் வெவ்வேறு அளவுகளில் இருக்கக்கூடிய வடிவங்களைப் பற்றி கற்றுக்கொண்டோம். இப்போது, முக்கோணங்கள் எப்போது ஒருமித்ததாக இருக்கின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் முக்கோணங்கள் தொடர்பான மிக முக்கியமான தேற்றத்தைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

📚 அடிப்படை விகிதசம தேற்றம் (தேல்ஸ் தேற்றம்)

அடிப்படை விகிதசம தேற்றம், தேல்ஸ் தேற்றம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது கி.மு. 600 காலகட்டத்தில் வாழ்ந்த பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் மிலேட்டைச் சேர்ந்த தேல்ஸின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த தேற்றம் ஒருமித்த முக்கோணங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கான அடித்தளத்தை அமைக்கிறது.

இதோ தேற்றம் கூறுவது:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாக ஒரு கோடு வரையப்பட்டு மற்ற இரண்டு பக்கங்களை வெட்டும்போது, அது அந்த இரண்டு பக்கங்களையும் ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.

இதை ஒரு எளிய விளக்கத்துடன் புரிந்து கொள்வோம்:

மேலே காட்டப்பட்டுள்ள ABC முக்கோணத்தில்:

• DE என்பது BC-க்கு (முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கம்) இணையாக உள்ளது
• DE முக்கோணத்தின் மற்ற இரண்டு பக்கங்களை D மற்றும் E புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது
• தேற்றம் AD/DB = AE/EC என்று கூறுகிறது

இதன் பொருள், DE கோடு AB-ஐ 2:1 விகிதத்தில் பிரித்தால், அது AC-ஐயும் 2:1 விகிதத்தில் பிரிக்கும்.

🧮 கணித நிரூபணம்

இந்த தேற்றம் ஏன் உண்மையானது என்பதைப் பார்ப்போம். நாம் முக்கோணங்களின் பரப்பளவு கருத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

BC-க்கு இணையாக DE உள்ள ABC முக்கோணத்தில்:

1. ADE மற்றும் BDE முக்கோணங்களை வரையுங்கள் (படத்தில் காட்டியுள்ளபடி)
2. BDE மற்றும் DEC முக்கோணங்கள் ஒரே அடிப்பகுதி DE மற்றும் DE மற்றும் BC என்ற ஒரே இணைகளுக்கு இடையில் உள்ளன
3. எனவே, BDE முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = DEC முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

இப்போது பரப்பளவு விகிதங்களைக் கணக்கிடுவோம்:

முக்கோணம் ADE பரப்பளவு / முக்கோணம் BDE பரப்பளவு = (1/2 × AD × உயரம்) / (1/2 × DB × உயரம்)
                                           = AD / DB

அதேபோல்:

முக்கோணம் ADE பரப்பளவு / முக்கோணம் DEC பரப்பளவு = (1/2 × AE × உயரம்) / (1/2 × EC × உயரம்)
                                           = AE / EC

BDE முக்கோணம் = DEC முக்கோணம் பரப்பளவில், நாம் தீர்மானிக்கலாம்:

AD / DB = AE / EC

இதுதான் நமது அடிப்படை விகிதசம தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது!

🌍 தேற்றத்தின் மாற்றுத் தேற்றம்

இந்த தேற்றத்திற்கு ஒரு மாற்றுத் தேற்றமும் உள்ளது, அது:

ஒரு கோடு ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களை ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கும்போது, அந்தக் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக இருக்கும்.

இதன் பொருள் AD/DB = AE/EC என்றால், DE என்பது BC-க்கு இணையாக இருக்கும்.

✅ தீர்க்கப்பட்ட உதாரணங்கள்

உதாரணம் 1

ABC முக்கோணத்தில், DE என்பது BC-க்கு இணையாக உள்ளது. AD = 3 செ.மீ, DB = 2 செ.மீ, மற்றும் AE = 4.5 செ.மீ எனில், EC-ஐக் கண்டறியவும்.

தீர்வு: DE என்பது BC-க்கு இணையாக இருப்பதால், அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின்படி:

AD/DB = AE/EC
3/2 = 4.5/EC

குறுக்குப் பெருக்கம்:

3 × EC = 2 × 4.5
3 × EC = 9
EC = 3 செ.மீ

உதாரணம் 2

PQR முக்கோணத்தில், ஒரு கோடு PQ மற்றும் PR ஆகியவற்றை முறையே 2:3 மற்றும் 4:5 விகிதத்தில் பிரிக்கிறது, இந்தக் கோடு QR-க்கு இணையாக உள்ளதா?

தீர்வு: கோடு QR-க்கு இணையாக இருக்க, அது இரண்டு பக்கங்களையும் ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்க வேண்டும்.

சரிபார்ப்போம்:

PQ 2:3 விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகிறது, அதாவது பிரிப்பு விகிதம் 2/3
PR 4:5 விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுகிறது, அதாவது பிரிப்பு விகிதம் 4/5

2/3 ≠ 4/5 என்பதால், விகிதங்கள் சமமாக இல்லை. எனவே, கோடு QR-க்கு இணையாக இல்லை.

🧪 செயல்பாட்டு நேரம்!

அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தை ஒரு கைமுறை செயல்பாட்டுடன் ஆராய்வோம்:

1. ஒரு தாளில் ஒரு பெரிய முக்கோணத்தை வரையுங்கள்
2. முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களில் ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும் (எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு பக்கங்களையும் 1:2 விகிதத்தில் பிரிக்கும் புள்ளிகளைக் குறிக்கவும்)
3. அந்த புள்ளிகளை ஒரு நேர்கோட்டால் இணைக்கவும்
4. இந்தக் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக உள்ளதா என்பதை அளவுகோல் கொண்டு சரிபார்க்கவும்

இந்த செயல்பாடு அடிப்படை விகிதசம தேற்றத்தின் மாற்றுத் தேற்றத்தை விளக்குகிறது!

⚠️ பொதுவான தவறான கருத்துக்கள்

• தவறான கருத்து: அடிப்படை விகிதசம தேற்றம் முக்கோணத்திற்குள் வரையப்படும் எந்த கோட்டிற்கும் பொருந்தும். உண்மை: இது முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாக உள்ள கோடுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

• தவறான கருத்து: ஒரு கோடு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் பிரித்தால், அது அனைத்து பக்கங்களையும் ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கும். உண்மை: கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக இருக்கும்போது மட்டுமே, தேற்றம் இரண்டு பக்கங்களும் ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கப்படுவதை உறுதி செய்கிறது.

💡 நினைவில் கொள்ள வேண்டிய முக்கிய புள்ளிகள்

• அடிப்படை விகிதசம தேற்றம் கூறுவது: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு இணையாக ஒரு கோடு வரையப்பட்டால், அது மற்ற இரண்டு பக்கங்களை ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கிறது.
• மாற்றுத் தேற்றமும் உண்மையானது: ஒரு கோடு ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களை ஒரே விகிதத்தில் பிரிக்கும்போது, அந்தக் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக இருக்கும்.
• இந்த தேற்றம் பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் மிலேட்டைச் சேர்ந்த தேல்ஸால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.
• இந்த தேற்றம் ஒருமித்த முக்கோணங்களைப் புரிந்துகொள்வதற்கான அடித்தளத்தை அமைக்கிறது.

🤔 இதைப் பற்றி யோசியுங்கள்!

1. ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு பல இணைக் கோடுகளை வரைந்தால் என்ன நடக்கும்? அவை மற்ற இரண்டு பக்கங்களை எவ்வாறு பிரிக்கும்?
2. இந்த தேற்றம் பயன்படக்கூடிய ஏதேனும் உண்மை வாழ்க்கை பயன்பாடுகளை நீங்கள் நினைத்துப் பார்க்க முடியுமா?
3. ஒரு கோடு முக்கோணத்தின் இரண்டு பக்கங்களை 1:1 விகிதத்தில் (அதாவது, நடுப்புள்ளிகளில்) பிரித்தால், இந்தக் கோட்டிற்கு என்ன சிறப்பு பண்பு உள்ளது?

அடுத்த பிரிவில், முக்கோணங்களின் ஒருமித்த தன்மைக்கான அளவுகோல்களைப் பற்றி கற்றுக்கொள்வோம்!