முக்கோணங்களின் ஒருமித்த தன்மைக்கான அளவுகோல்கள்

🔄 சுருக்க நினைவூட்டல்

முந்தைய பிரிவுகளில், நாம் ஒருமித்த வடிவங்கள் மற்றும் அடிப்படை விகிதசம தேற்றம் பற்றி கற்றுக்கொண்டோம். இரண்டு வடிவங்கள் ஒரே வடிவத்தைக் கொண்டிருக்கும்போது ஆனால் வெவ்வேறு அளவுகளில் இருக்கும்போது அவை ஒருமித்ததாக இருக்கின்றன என்பதை நாம் அறிவோம். இதன் பொருள் அவற்றின் தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய பக்கங்கள் ஒரே விகிதத்தில் இருக்கும்.

இப்போது, குறிப்பாக முக்கோணங்களைப் பற்றி கவனம் செலுத்தி, இரண்டு முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளனவா என்பதைச் சரிபார்க்க எளிதாக்கும் சில சிறப்பு விதிகளைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

📚 முக்கோணங்களை ஒருமித்ததாக ஆக்குவது என்ன?

இரண்டு முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக இருக்க, நமக்குத் தேவை:

1. அவற்றின் தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும்
2. அவற்றின் தொடர்புடைய பக்கங்கள் ஒரே விகிதத்தில் இருக்க வேண்டும்

இருப்பினும், ஆறு பகுதிகளை (மூன்று கோணங்கள் மற்றும் மூன்று பக்கங்கள்) அனைத்தையும் சரிபார்ப்பது நேரம் எடுக்கும். அதிர்ஷ்டவசமாக, இதை எளிதாக்க சில சிறப்பு அளவுகோல்கள் உள்ளன!

🖼️ AA அளவுகோல் (கோணம்-கோணம்)

AA அளவுகோல் கூறுவது:

ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள் மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களுக்குச் சமமாக இருந்தால், இரண்டு முக்கோணங்களும் ஒருமித்ததாக இருக்கும்.

இது ஏன் வேலை செய்கிறது? ஏனெனில் ஒரு முக்கோணத்தில், மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180° ஆகும். எனவே இரண்டு கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், மூன்றாவது கோணமும் சமமாக இருக்க வேண்டும்!

இதன் பொருள், முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளனவா என்பதைத் தீர்மானிக்க இரண்டு ஜோடி கோணங்களை மட்டுமே நாம் சரிபார்க்க வேண்டும்.

AA அளவுகோலின் உதாரணம்:

ABC மற்றும் PQR முக்கோணங்களில், ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠P = 50°, மற்றும் ∠Q = 60° எனில், AA அளவுகோலின்படி, ABC மற்றும் PQR முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளன.

🖼️ SSS அளவுகோல் (பக்கம்-பக்கம்-பக்கம்)

ஒருமித்த தன்மைக்கான SSS அளவுகோல் கூறுவது:

இரண்டு முக்கோணங்களின் தொடர்புடைய பக்கங்கள் விகிதாசாரத்தில் (ஒரே விகிதத்தில்) இருந்தால், அந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக இருக்கும்.

இதன் பொருள்:

AB/PQ = BC/QR = CA/RP

என்றால், ABC மற்றும் PQR முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளன.

SSS அளவுகோலின் உதாரணம்:

ABC மற்றும் PQR முக்கோணங்களில், AB = 3 செ.மீ, BC = 4 செ.மீ, CA = 5 செ.மீ, PQ = 6 செ.மீ, QR = 8 செ.மீ, மற்றும் RP = 10 செ.மீ எனில்:

AB/PQ = 3/6 = 1/2
BC/QR = 4/8 = 1/2
CA/RP = 5/10 = 1/2

அனைத்து விகிதங்களும் சமமாக (1/2) இருப்பதால், ABC மற்றும் PQR முக்கோணங்கள் SSS அளவுகோலின்படி ஒருமித்ததாக உள்ளன.

🖼️ SAS அளவுகோல் (பக்கம்-கோணம்-பக்கம்)

ஒருமித்த தன்மைக்கான SAS அளவுகோல் கூறுவது:

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணம் மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்திற்குச் சமமாக இருந்து, இந்த கோணங்களை உள்ளடக்கிய பக்கங்கள் விகிதாசாரத்தில் இருந்தால், அந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக இருக்கும்.

∠A = ∠P, மற்றும்:

AB/PQ = AC/PR

எனில், ABC மற்றும் PQR முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளன.

SAS அளவுகோலின் உதாரணம்:

ABC மற்றும் PQR முக்கோணங்களில், ∠A = 60°, ∠P = 60°, AB = 4 செ.மீ, AC = 6 செ.மீ, PQ = 8 செ.மீ, மற்றும் PR = 12 செ.மீ எனில்:

AB/PQ = 4/8 = 1/2
AC/PR = 6/12 = 1/2

∠A = ∠P மற்றும் இந்த கோணங்களை உள்ளடக்கிய பக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருப்பதால், ABC மற்றும் PQR முக்கோணங்கள் SAS அளவுகோலின்படி ஒருமித்ததாக உள்ளன.

⚖️ விரைவு ஒப்பீடு: ஒருமித்த vs இணக்கமான அளவுகோல்கள்

ஒருமித்த அளவுகோல்கள்	இணக்கமான அளவுகோல்கள்
AA: இரண்டு கோணங்கள் சமம்	ASA: இரண்டு கோணங்கள் மற்றும் அவற்றுக்கு இடையில் உள்ள பக்கம் சமம்
SSS: அனைத்து பக்கங்களும் விகிதாசாரத்தில்	SSS: அனைத்து பக்கங்களும் சமம்
SAS: ஒரு கோணம் சமம் மற்றும் அதை உள்ளடக்கிய பக்கங்கள் விகிதாசாரத்தில்	SAS: ஒரு கோணம் சமம் மற்றும் அதை உள்ளடக்கிய பக்கங்கள் சமம்

✅ தீர்க்கப்பட்ட உதாரணங்கள்

உதாரணம் 1

ABC மற்றும் DEF முக்கோணங்களில், ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠D = 50°, மற்றும் ∠E = 60°. இந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளனவா?

தீர்வு: நமக்குத் தெரிந்தவை:

• ∠A = ∠D = 50°
• ∠B = ∠E = 60°

ABC முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள் DEF முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களுக்குச் சமமாக இருப்பதால், AA அளவுகோலின்படி, ABC மற்றும் DEF முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளன.

உதாரணம் 2

PQR மற்றும் XYZ முக்கோணங்களில், PQ = 3 செ.மீ, QR = 4 செ.மீ, RP = 5 செ.மீ, XY = 4.5 செ.மீ, YZ = 6 செ.மீ, மற்றும் ZX = 7.5 செ.மீ. இந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளனவா?

தீர்வு: தொடர்புடைய பக்கங்கள் ஒரே விகிதத்தில் உள்ளனவா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டும்:

PQ/XY = 3/4.5 = 2/3
QR/YZ = 4/6 = 2/3
RP/ZX = 5/7.5 = 2/3

அனைத்து விகிதங்களும் சமமாக (2/3) இருப்பதால், தொடர்புடைய பக்கங்கள் விகிதாசாரத்தில் உள்ளன. எனவே, SSS அளவுகோலின்படி, PQR மற்றும் XYZ முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளன.

உதாரணம் 3

ABC மற்றும் DEF முக்கோணங்களில், ∠A = ∠D, AB = 5 செ.மீ, AC = 7 செ.மீ, DE = 10 செ.மீ, மற்றும் DF = 14 செ.மீ. இந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளனவா?

தீர்வு: நமக்குத் தெரிந்தவை:

• ∠A = ∠D
• AB/DE = 5/10 = 1/2
• AC/DF = 7/14 = 1/2

ABC முக்கோணத்தின் ஒரு கோணம் DEF முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்திற்குச் சமமாக இருப்பதாலும், இந்த கோணங்களை உள்ளடக்கிய பக்கங்கள் விகிதாசாரத்தில் இருப்பதாலும், SAS அளவுகோலின்படி, ABC மற்றும் DEF முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக உள்ளன.

🧪 செயல்பாட்டு நேரம்!

AA அளவுகோலை ஒரு எளிய கைமுறை செயல்பாட்டுடன் சரிபார்ப்போம்:

1. ஒரு தாளில் ஒரு முக்கோணத்தை வரைந்து அதன் இரண்டு கோணங்களை அளவிடுங்கள் (உதாரணமாக 50° மற்றும் 60°)
2. அதே இரண்டு கோணங்களைக் கொண்டு ஆனால் வெவ்வேறு நீளங்களைக் கொண்ட பக்கங்களுடன் மற்றொரு முக்கோணத்தை வரையுங்கள்
3. இரண்டு முக்கோணங்களிலும் மூன்றாவது கோணத்தை அளவிடுங்கள் - அவை சமமாக இருக்க வேண்டும்!
4. அனைத்து பக்கங்களையும் அளவிட்டு விகிதங்களைக் கணக்கிடுங்கள் - அவை அனைத்தும் சமமாக இருக்க வேண்டும்
5. இது இரண்டு முக்கோணங்களின் இரண்டு கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், அந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக இருக்கும் என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது

⚠️ பொதுவான தவறான கருத்துக்கள்

• தவறான கருத்து: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணம் மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், அந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக இருக்கும். உண்மை: ஒரு சம கோணம் போதாது. குறைந்தது இரண்டு சம கோணங்கள் அல்லது பக்கங்களைப் பற்றிய கூடுதல் தகவல்கள் தேவை.

• தவறான கருத்து: மூன்று பக்கங்களும் விகிதாசாரத்தில் உள்ள முக்கோணங்கள், தொடர்புடைய கோணங்களும் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே ஒருமித்ததாக இருக்கும். உண்மை: மூன்று பக்கங்களும் விகிதாசாரத்தில் இருந்தால், முக்கோணங்கள் நிச்சயமாக ஒருமித்ததாக இருக்கும். சம கோணங்கள் அதன் விளைவாக ஏற்படும்.

💡 நினைவில் கொள்ள வேண்டிய முக்கிய புள்ளிகள்

• AA அளவுகோல்: ஒரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்கள் மற்றொரு முக்கோணத்தின் இரண்டு கோணங்களுக்குச் சமமாக இருந்தால், அந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக இருக்கும்.
• SSS அளவுகோல்: ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களும் மற்றொரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கு விகிதாசாரத்தில் இருந்தால், அந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக இருக்கும்.
• SAS அளவுகோல்: ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணம் மற்றொரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்திற்குச் சமமாக இருந்து, இந்த கோணங்களை உள்ளடக்கிய பக்கங்கள் விகிதாசாரத்தில் இருந்தால், அந்த முக்கோணங்கள் ஒருமித்ததாக இருக்கும்.
• ஒருமித்த முக்கோணங்களில், தொடர்புடைய பக்கங்களின் விகிதம் தொடர்புடைய உயரங்கள், நடுக்கோடுகள் மற்றும் கோண இருசமவெட்டிகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்.

🤔 இதைப் பற்றி யோசியுங்கள்!

1. இணக்கத்திற்கு நாம் "ASA" (கோணம்-பக்கம்-கோணம்) அளவுகோலைக் கொண்டிருப்பது போல, ஒருமித்த தன்மைக்கும் நாம் "ASA" அளவுகோலைக் கொண்டிருக்க முடியுமா?
2. இரண்டு முக்கோணங்களின் மூன்று ஜோடி தொடர்புடைய பக்கங்கள் விகிதாசாரத்தில் இருந்தால், அவற்றின் தொடர்புடைய கோணங்கள் சமமாக இருக்க வேண்டுமா?
3. நாம் "SSA" (பக்கம்-பக்கம்-கோணம்) ஒருமித்த அளவுகோலைக் கொண்டிருக்க முடியுமா? ஏன் அல்லது ஏன் இல்லை?

அடுத்த பிரிவில், உண்மை உலக பிரச்சினைகளைத் தீர்ப்பதில் முக்கோண ஒருமித்த தன்மையின் பயன்பாடுகளைப் பார்ப்போம்!